** En lien avec la SVT : taux d'alcool - Grand Oral

Lorsque l'on consomme de l'alcool, le taux d'alcool dans le sang varie en fonction du temps écoulé depuis l'absorption. Ce taux est appelé alcoolémie  et est mesuré en grammes par litre (g/L).
Une personne donnée absorbe de l'alcool à \(12\) h. Son alcoolémie, en fonction du temps exprimé en heures, est modélisée par une fonction \(f\)  de la variable \(t\) , solution de l'équation différentielle \((E) :  y' + y = 2,\!5\text e^{- t}\) .
À l'instant \(t=0\) , le taux d'alcool de la personne est nul.

1. Vérifier que la fonction définie sur \([0~;+\infty[\) par  \(f(t) = 2,\!5t\text e^{- t}\)  est solution du problème.

2. a. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\) .
    b. Étudier les variations de \(f\) sur   \([0~;+\infty[\)  et dresser le tableau de variations de \(f\)  sur  \([0~;+\infty[\)   .

3. a. Quelle est l'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée ?
    b. En France, la législation autorise pour un conducteur une alcoolémie maximale de \(0{,}5\) g/L.
La personne finit son déjeuner à \(13\) h. Pourra-t-elle conduire à ce moment-là ?

4. a. Justifier que l'équation \(f(t)=0{,}5\) admet une unique solution sur  \([1~;+\infty[\) .
    b. À partir de quelle heure, à la minute près, la personne pourra-t-elle reprendre le volant ?